A Geometria foi desenvolvida a partir da necessidade humana. Construir casas, templos e monumentos, navegar, calcular distâncias e medir terras. Seus registros estão presentes em todas as civilizações.

Babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos, hindus, árabes utilizaram as formas geométricas no seu dia-a-dia.

Os conceitos e propriedades começaram a adquirir a forma com as investigações de Tales, que viveu por volta de 600 anos antes de Cristo, ganharam força nas escolas de Pitágoras, Aristóteles e Platão, e foram organizados, pela primeira vez, por Euclides, um matemático da escola de Alexandria que viveu por volta de 300 anos antes de Cristo. Por essa razão, a Geometria plana também é chamada de “Geometria Euclidiana“.

A geometria euclidiana ocupa-se do estudo das formas e das ligações algébricas conectadas a elas. Fundamenta-se na ideia intuitiva de ponto, sendo que a partir dele formam-se as ideias de retas e planos. As retas e os planos nada mais são que um conjunto de pontos, sem limitar-se a um fim, ou seja, são infinitos em ambas as direções.

Dentro do contexto da geometria plana estudam-se as formas geométricas planas tais como quadrado, triângulo, retângulo, losango, círculo, trapézio, paralelogramo, ou seja, polígonos regulares e irregulares, todas as suas propriedades e todas as relações existentes entre eles.

Definições

Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição.

Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são suficientes para determinar uma reta, ou ainda um ponto e a inclinação da mesma.

Plano: Conjunto infinito de retas. Três pontos são suficientes para determinar um plano.

Representação (notação)

• Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas (A, B, C,...);
• Retas serão representados por letras latinas minúsculas (a, b, c,...);
• Planos serão representados por letras gregas minúsculas (α, β, γ...).

Representação gráfica

Semi-reta: Sai de um ponto determinado e se prolonga indefinidamente.

Segmento de reta: Trecho de reta que se inicia em um ponto determinado e tem fim em outro ponto determinado. Não se prolonga indefinidamente.

Ângulo: Formado pela união de semi-retas, ou mesmo por segmento de retas.

Ângulos

Medida de ângulos

Existem três unidades de medidas de ângulos: graus (º), radianos (rad) e grados (gr). A correspondência entre essas medidas é a seguinte:

180º = π rad = 200 gr

A medida de graus ainda é subdividida em minutos (‘) e segundos (“), na base hexadecimal.

1º = 60‘ = 3600“

Exemplos

Classificações

Veja na ilustração a seguir diferentes tipos de ângulos:

Se a soma de dois ângulos resulta:
90º, dizemos que os ângulos são complementares;
180º, dizemos que os ângulos são suplementares.

A “Regra do Zorro”

Retas paralelas interceptadas por uma transversal

Estando nesta configuração, cada par de ângulos recebe um nome, a saber:

Correspondentes*: (α, α’), (β, β’), (γ, γ’), (δ, δ’);

Alternos internos*: (γ, α’), (δ, β’);

Alternos externos*: (α, γ’), (β, δ’);

Colaterais internos**: (δ, α’), (γ, β’);

Colaterais externos**: (α, δ’), (β, γ’);

Opostos pelo vértice (o.p.v.)*: (α, γ); (β, δ); (α’, γ’); (β’, δ’).

* ângulos congruentes

** ângulos suplementares

Triângulos

Triângulos são figuras geométricas planas formadas por três pontos, chamados vértices e a união das semi-retas que unem esse três pontos.

É uma figura de três lados e que possui três ângulos.

Classificação dos triângulos quanto aos lados

Equilátero:

possui os três lados (e consequentemente os três ângulos) iguais (congruentes).

Isósceles:

possui dois lados iguais. O terceiro lado é chamado base. Os ângulos formados pela base com os lados são iguais.

Escaleno:

não possui nenhum lado (consequentemente nenhum ângulo) igual.

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Propriedades dos triângulos

Veja algumas especificações:

• A soma dos ângulos internos de todo e qualquer triângulo é 180º;
• A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é 360º;
• Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos seus dois ângulos internos não adjacentes;
• O maior lado do triângulo se opõe (“vê”, “está de frente”) ao maior ângulo e o menor lado se opõe ao menor ângulo;
• Desigualdade triangular: a, b, c formam um triângulo se, e somente se: $$ |a – b| < c < a + b $$

Semelhança de triângulos

Definição: Dados dois triângulos (ΔABC e ΔDEF), dizemos que estes são semelhantes se, e somente se, estes são formados pelos mesmos ângulos internos. Observado isso, podemos afirmar ainda que:

$$ { AB \over DE } = { AC \over DF } = { BC \over EF } = k $$

Alguns casos de semelhança

Ângulo – ângulo (AA): Se dois ângulos são iguais, o terceiro também será. Logo, os triângulos são semelhantes.

Lado – ângulo – lado (LAL): Dados dois triângulos, sendo dois lados de um triângulo proporcionais a dois lados do outro triângulo e o ângulo entre estes lados semelhante nas duas formas geométricas, concluímos que os triângulos são semelhantes.

Lado – lado – lado (LLL): Dados dois triângulos cujos três lados de um são proporcionais aos três lados do outro, conclui-se que estes triângulos são semelhantes.

Teorema de Tales

Caso Geral da Semelhança de Triângulos

Dadas retas paralelas interceptadas por duas transversais, podemos afirmar, segundo Tales, que existe uma proporcionalidade entre os trechos interceptados.

$$ {AB \over DE} = {BC \over EF} = {AC \over DF} $$

Elementos construtivos de um triângulo

Todo triângulo possui três de cada um destes elementos, sempre relativo a cada vértice, a cada lado ou ainda a cada ângulo.

Assista ao vídeo e entenda melhor:

Realize o desafio a seguir no seu caderno de estudos:

Relações métricas no triângulo retângulo

Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes, veja a seguir.

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo.

“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”

$$ a^2 = b^2 + c^2 $$

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Estabelecem uma relação entre os ângulos (seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tg)) e os lados de um triângulo retângulo.

*sempre em relação ao ângulo em estudo. (Ex.: oposto à α adjacente à α.)

Lei dos senos

A lei dos senos estabelece uma relação entre os lados de qualquer triângulo e seus ângulos opostos, através do valor dos senos.

Veja a seguir e entenda melhor:

Lei dos co-senos

A lei dos co-senos estabelece uma relação entre os lados de qualquer triângulo e seus ângulos, através do valor dos co-senos.

Veja a seguir e entenda melhor:

Valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis

Verifique os valores na tabela a seguir:

Circunferência

Circunferência é o conjunto de todos os pontos que estão a exatamente uma determinada distância de um ponto dado do mesmo plano chama-se circunferência.

Elementos

Verifique o exemplo prático a seguir;

Áreas dos triângulos

Veja como determinar a área de um triângulo utilizando a medida de seus lados:

Área dos quadriláteros

Área do Círculo e seus subconjuntos

O conjunto de todos os pontos que estão até uma determinada distância de um ponto dado do mesmo plano chama-se círculo.

Setor circular

É a área de um pedaço do círculo, representado pelo ângulo . Similar ao cálculo do comprimento de arco de circunferência, fazemos uma regra de três:

Área de Outros polígonos

A soma dos ângulos internos de um polígono qualquer depende do número de lados que este possui. A soma dos ângulos internos de um n – ágono é dada por:
S = (n - 2).180º

O nome dos polígonos é dado de acordo com o número n de lados.